軌跡の勉強方法の続き

前回に引き続き、軌跡の勉強方法を書いてみます。

前回は「動点が2つある軌跡の手順」まで学習しました。

では、この問題から。

問題

放物線 y=(x-1)^2  と直線y=mx  が異なる2点A,Bで交わるとき,

（１）mの値の範囲を求めよ。

（２）線分ABの中点の軌跡を求めよ。

定石　放物線と直線の交点の軌跡は, 解と係数の関係の利用　そして範囲

まず解答を

（１）

①の方程式を解けば、交点のx座標が分かるのですが、綺麗な形にはならないので、解かないのがコツです。

（２）

今度は動点が3つもあります！

でも、基本は変わりません。

軌跡を求める点を（X,Y)、その他の点をx,y以外の文字でおくのです。

ただし、文字数を減らすため、解答のような工夫をします。

そして前回学習したように、X,Y以外の文字を消去します。

この消去の方法を身に付けてください。

文字が3種類あります。

一気に消去するのではなく、①の2次方程式に解と係数の関係を用いると、α＋βをmで表すことが出来ます。

これで、まずα＋βをmに変えます。

するとX, Y, ｍだけになるので、前回と同じようにmを消去します。

コツは解と係数の関係を用いる事です。

これは数学Ⅲの2次曲線でも用いられる大切な手法です。

そして最後に範囲を求めます。

範囲のある軌跡は、教科書から抹消されてしまったのですが、受験生は勉強しておきましょう。

点Pはｙ＝２ｘ＾２－２ｘの上を動くことが分かったのですが、この放物線の上を全て動くのかを調べるのです。

これは①の方程式が異なる2実数解をもつ条件、判別式＞０で解決します。

判別式＞０でmの範囲が出ます。

これにm=2X-2を代入することでXの範囲が出ます。

図形の名前、図形の方程式、動く範囲、この3つを答えて完答です。

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